metoden att differentiera funktioner genom att först ta logaritmer och sedan differentiera kallas logaritmisk differentiering. Vi använder logaritmisk differentiering i situationer där det är lättare att differentiera logaritmen för en funktion än att differentiera själva funktionen. Detta tillvägagångssätt möjliggör beräkning av derivat av makt, rationella och vissa irrationella funktioner på ett effektivt sätt.
överväg denna metod mer detaljerat. Låt \(y = f \ vänster (x \höger)\). Ta naturliga logaritmer på båda sidor:
därefter skiljer vi detta uttryck med hjälp av kedjeregeln och med tanke på att \(y\) är en funktion av \(x.\)
det framgår att derivatet är
derivatet av den logaritmiska funktionen kallas det logaritmiska derivatet av den ursprungliga funktionen \(y = f \ vänster (x \höger).\)
denna differentieringsmetod gör det möjligt att effektivt beräkna derivat av effekt-exponentiella funktioner, det vill säga funktioner i formen
där \(u \ left(x \right)\) och \(v\left(x \right)\) är differentierbara funktioner för \(x.\)
i exemplen nedan hittar du derivatet av funktionen \(y\left (X \right)\) med logaritmisk differentiering.
Lösta problem
klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.
Exempel 1
\
Exempel 2
\
Exempel 3
\
Exempel 4
\
Exempel 5
\
Exempel 6
\
Exempel 7
\
Exempel 8
\
Exempel 1.
\
lösning.
först tar vi logaritmer på vänster och höger sida av ekvationen:
nu skiljer vi båda sidor vilket betyder att \(y\) är en funktion av \(x:\)
exempel 2.
\
lösning.
först tar vi logaritmer på båda sidor:
differentiera den sista ekvationen med avseende på \(x:\)
ersätt den ursprungliga funktionen istället för \(y\) på höger sida:
exempel 3.
\
lösning.
tillämpa logaritmisk differentiering:
exempel 4.
\
lösning.
ta logaritmen för den givna funktionen:
differentiera den sista ekvationen med avseende på \(x,\) vi får:
ersätt den ursprungliga funktionen istället för \(y\) på höger sida:
där \(x \gt 0.\)
exempel 5.
\
lösning.
med logaritmer från båda sidor får vi
differentiera denna ekvation med avseende på \(x:\)
där \(y = {x^{\arctan x}}.\)
exempel 6.
\
lösning.
med logaritmer på båda sidor kan vi skriva följande ekvation:
vidare skiljer vi vänster och höger sida:
exempel 7.
\
lösning.
först tar vi logaritmer på båda sidor:
nu är det lätt att hitta det logaritmiska derivatet:
i detta exempel antas det att \(x \gt 3.\)
exempel 8.
\
lösning.
vi antar här att \(x \gt 2.\ ) Ta logaritmer från båda sidor:
nu kan vi skilja detta uttryck med avseende på \(x:\)
