metoden til differentiering af funktioner ved først at tage logaritmer og derefter differentiere kaldes logaritmisk differentiering. Vi bruger logaritmisk differentiering i situationer, hvor det er lettere at differentiere logaritmen for en funktion end at differentiere selve funktionen. Denne tilgang gør det muligt at beregne derivater af magt, rationelle og nogle irrationelle funktioner på en effektiv måde.
overvej denne metode mere detaljeret. Lad \(y = f \ venstre (h \højre)\). Tag naturlige logaritmer på begge sider:
dernæst differentierer vi dette udtryk ved hjælp af kædereglen og husker, at \(y\) er en funktion af \(.\)
det ses, at derivatet er
den logaritmiske funktion kaldes logaritmisk derivat af den oprindelige funktion \(y = f\venstre( højre).\)
denne differentieringsmetode gør det muligt effektivt at beregne derivater af effekteksponentielle funktioner, det vil sige formens funktioner
hvor \(u\venstre(h \højre)\) og \(v\venstre(h \højre)\) er differentierbare funktioner af \(H.\)
i eksemplerne nedenfor finder du derivatet af funktionen \(y\venstre (h \højre)\) ved hjælp af logaritmisk differentiering.
løst problemer
klik eller tryk på et problem for at se løsningen.
Eksempel 1
\
Eksempel 2
\
Eksempel 3
\
Eksempel 4
\
Eksempel 5
\
Eksempel 6
\
Eksempel 7
\
Eksempel 8
\
Eksempel 1.
\
løsning.
først tager vi logaritmer på venstre og højre side af ligningen:
nu differentierer vi begge sider, hvilket betyder, at \(y\) er en funktion af \(:\)
eksempel 2.
\
løsning.
først tager vi logaritmer fra begge sider:
differentier den sidste ligning med hensyn til \:\)
erstat den oprindelige funktion i stedet for \(y\) i højre side:
eksempel 3.
\
løsning.
Anvend logaritmisk differentiering:
eksempel 4.
\
løsning.
Tag logaritmen af den givne funktion:
differentiering af den sidste ligning med hensyn til \(H,\) vi opnår:
erstat den oprindelige funktion i stedet for \(y\) i højre side:
hvor \(h \gt 0.\)
eksempel 5.
\
løsning.
ved at tage logaritmer fra begge sider får vi
differentier denne ligning med hensyn til \:\)
hvor \(y = {{\arctan}}.\)
eksempel 6.
\
løsning.
ved at tage logaritmer på begge sider kan vi skrive følgende ligning:
yderligere differentierer vi venstre og højre side:
eksempel 7.
\
løsning.
først tager vi logaritmer fra begge sider:
nu er det let at finde det logaritmiske derivat:
i dette eksempel antages det, at \(h \gt 3.\)
Eksempel 8.
\
løsning.
vi antager her, at \(h \gt 2.\ ) Tag logaritmer fra begge sider:
nu kan vi differentiere dette udtryk med hensyn til \(H:\)
