El método de diferenciar funciones tomando primero logaritmos y luego diferenciando se denomina diferenciación logarítmica. Utilizamos la diferenciación logarítmica en situaciones en las que es más fácil diferenciar el logaritmo de una función que diferenciar la función en sí. Este enfoque permite calcular derivadas de potencia, racionales y algunas funciones irracionales de manera eficiente.
Considere este método con más detalle. Let \(y = f \ left (x \right)\). Tomar logaritmos naturales de ambos lados:
Siguiente, podemos diferenciar esta expresión usando la regla de la cadena y teniendo en cuenta que \(y\) es una función de \(x.\)
Es evidente que la derivada es
la derivada de La función logarítmica se llama la derivada logarítmica de la función inicial \(y = f\left( x \right).\)
Este método de diferenciación permite calcular eficazmente derivadas de funciones exponenciales de potencia, es decir, funciones de la forma
donde \(u\left(x \right)\) y \(v\left(x \right)\) son funciones diferenciables de \(x.\)
En los ejemplos siguientes, encuentre la derivada de la función \(y\left (x \right)\) usando diferenciación logarítmica.
Problemas resueltos
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Ejemplo 1
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Ejemplo 2
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Ejemplo 3
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Ejemplo 4
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Ejemplo 5
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Ejemplo 6
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Ejemplo 7
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Ejemplo 8
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Ejemplo 1.
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Solución.
Primero tomamos logaritmos del lado izquierdo y derecho de la ecuación:
Ahora podemos diferenciar ambos lados, lo que significa que \(y\) es una función de \(x:\)
Ejemplo 2.
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Solución.
en Primer lugar tomamos logaritmos de ambos lados:
Diferenciar la última ecuación con respecto a \(x:\)
Sustituir la función original en lugar de \(y\) en el lado derecho:
Ejemplo 3.
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Solución.
Aplicar diferenciación logarítmica:
Ejemplo 4.
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Solución.
Tomar el logaritmo de la función dada:
la Diferenciación de la última ecuación con respecto a \(x\) obtenemos:
Sustituir la función original en lugar de \(y\) en el lado derecho:
donde \(x \gt 0.\)
Ejemplo 5.
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Solución.
Tomando logaritmos de ambos lados, obtenemos
Diferenciar esta ecuación con respecto a \(x:\)
donde \(y = {x^{\arctan x}}.\)
Ejemplo 6.
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Solución.
Tomando logaritmos de ambos lados, podemos escribir la siguiente ecuación:
Además podemos diferenciar los lados izquierdo y derecho:
Ejemplo 7.
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Solución.
en Primer lugar tomamos logaritmos de ambos lados:
Ahora es fácil encontrar la derivada logarítmica:
En este ejemplo se asume que \(x \ gt 3.\)
Ejemplo 8.
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Solución.
Asumiremos aquí que \(x \ gt 2.\) Tomar logaritmos de ambos lados:
Ahora podemos diferenciar esta expresión con respecto a \(x\)
