La méthode de différenciation des fonctions en prenant d’abord des logarithmes, puis en les différenciant est appelée différenciation logarithmique. Nous utilisons la différenciation logarithmique dans des situations où il est plus facile de différencier le logarithme d’une fonction que de différencier la fonction elle-même. Cette approche permet de calculer de manière efficace les dérivées du pouvoir, des fonctions rationnelles et de certaines fonctions irrationnelles.
Considérez cette méthode plus en détail. Soit \(y = f \ gauche (x\droite)\). Prenez les logarithmes naturels des deux côtés:
Ensuite, nous différencions cette expression en utilisant la règle de la chaîne et en gardant à l’esprit que \(y\) est une fonction de \(x.\)
On voit que le dérivé est
La dérivée de la fonction logarithmique est appelée la dérivée logarithmique de la fonction initiale \(y = f\left(x\right).\)
Cette méthode de différenciation permet de calculer efficacement des dérivées de fonctions exponentielles de puissance, c’est-à-dire des fonctions de la forme
où \(u\left(x\right)\) et \(v\left(x\right)\) sont des fonctions différentiables de \(x.\)
Dans les exemples ci-dessous, trouvez la dérivée de la fonction \(y\left(x\right)\) en utilisant la différenciation logarithmique.
Problèmes résolus
Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.
Exemple 1
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Exemple 2
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Exemple 3
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Exemple 4
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Exemple 5
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Exemple 6
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Exemple 7
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Exemple 8
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Exemple 1.
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Solution.
On prend d’abord les logarithmes des côtés gauche et droit de l’équation:
Maintenant, nous différencions les deux côtés, ce qui signifie que \(y\) est une fonction de \(x:\)
Exemple 2.
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Solution.
On prend d’abord les logarithmes des deux côtés:
Différencier la dernière équation par rapport à \(x:\)
Remplacez la fonction d’origine au lieu de \(y\) dans le côté droit:
Exemple 3.
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Solution.
Appliquer la différenciation logarithmique:
Exemple 4.
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Solution.
Prenez le logarithme de la fonction donnée:
En différenciant la dernière équation par rapport à \(x, \), on obtient:
Remplacez la fonction d’origine au lieu de \(y\) dans le côté droit:
où \(x\gt 0.\)
Exemple 5.
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Solution.
En prenant les logarithmes des deux côtés, on obtient
Différencier cette équation par rapport à \(x:\)
où \(y = {x^{\arctan x}}.\)
Exemple 6.
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Solution.
En prenant les logarithmes des deux côtés, on peut écrire l’équation suivante:
En outre, nous différencions les côtés gauche et droit:
Exemple 7.
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Solution.
On prend d’abord les logarithmes des deux côtés:
Maintenant, il est facile de trouver la dérivée logarithmique:
Dans cet exemple, on suppose que \(x\gt 3.\)
Exemple 8.
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Solution.
Nous supposerons ici que \(x\gt 2.\) Prenez les logarithmes des deux côtés:
Maintenant, nous pouvons différencier cette expression par rapport à \(x:\)
