o método de diferenciar funções primeiro tomando logaritmos e depois diferenciando é chamado de diferenciação logarítmica. Usamos a diferenciação logarítmica em situações em que é mais fácil diferenciar o logaritmo de uma função do que diferenciar a própria função. Essa abordagem permite calcular derivadas de funções de poder, racionais e algumas irracionais de maneira eficiente.
considere este método com mais detalhes. Vamos \(y = f \ esquerda (x\direita)\). Tome logaritmos naturais de ambos os lados:
em seguida, temos a diferenciar essa expressão usando a regra da cadeia e tendo em mente que \(y\) é uma função \(x.\)
É visto que a derivada é
A derivada da função logarítmica é chamado de logaritmo derivada da função inicial \(y = f\left( x \right).\)
Esta diferenciação método permite, efetivamente, calcular derivadas de energia-funções exponenciais, que está funções de forma
onde \(u\left( x \right)\) e \(v\left( x \right)\) são funções diferenciáveis de \(x.\)
Nos exemplos abaixo, encontre a derivada da função \(y\left( x \right)\), usando diferenciação logarítmica.
Problemas resolvidos
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Exemplo 1
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Exemplo 2
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Exemplo 3
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Exemplo 4
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Exemplo 5
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Exemplo 6
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Exemplo 7
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Exemplo 8
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Exemplo 1.
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solução.
primeiro tomamos logaritmos do lado esquerdo e direito da equação:
Agora podemos diferenciar ambos os lados, o que significa que \(y\) é uma função \(x:\)
Exemplo 2.
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solução.
Primeiro tomamos logaritmos de ambos os lados:
Diferenciar a última equação com relação a \(x:\)
Substituir a função original, em vez de \(y\) no lado direito:
Exemplo 3.
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solução.
aplicar diferenciação logarítmica:
exemplo 4.
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solução.
Tomar o logaritmo da função dada:
Diferenciando a última equação com relação a \(x\) obtemos:
Substituir a função original, em vez de \(y\) no lado direito:
onde \(x \gt 0.\)
exemplo 5.
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solução.
Tomando logaritmos de ambos os lados, obtemos
Diferenciar esta equação com relação a \(x:\)
onde \(y = {x^{\arctan x}}.\)
exemplo 6.
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solução.
Tomando logaritmos de ambos os lados, podemos escrever a seguinte equação:
Ainda podemos diferenciar os lados esquerdo e direito:
Exemplo 7.
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solução.
Primeiro tomamos logaritmos de ambos os lados:
Agora, é fácil encontrar a derivada logarítmica:
neste exemplo, presume-se que \(X \gt 3.\)
exemplo 8.
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solução.
vamos assumir aqui que \(X \gt 2.\) Tomar logaritmos de ambos os lados:
agora podemos diferenciar essa expressão em relação a \(x:\)
