Calculus

de methode om functies te differentiëren door eerst logaritmen te nemen en vervolgens te differentiëren wordt logaritmische differentiatie genoemd. We gebruiken logaritmische differentiatie in situaties waar het gemakkelijker is om de logaritme van een functie te differentiëren dan om de functie zelf te differentiëren. Deze benadering maakt het mogelijk om afgeleide van macht, rationele en sommige irrationele functies op een efficiënte manier te berekenen.

bekijk deze methode in meer detail. Laat \(y = f\left (x \ right)\). Neem natuurlijke logaritmen van beide zijden:

vervolgens onderscheiden we deze uitdrukking met behulp van de kettingregel en in gedachten houdend dat \(y\) een functie is van \(x.\)

het is gezien dat de afgeleide is

de afgeleide van de logaritmische functie wordt de logaritmische afgeleide van de initiële functie \(y = F\left( x \right) genoemd.\)

deze differentiatiemethode maakt het mogelijk om derivaten van macht-exponentiële functies, dat wil zeggen functies van de vorm, effectief te berekenen

waar \(u \ left(x\ right)\) en\(v \left(x\ right)\) differentieerbare functies zijn van\(x.\)

vind in de voorbeelden hieronder de afgeleide van de functie\(y \left (x\ right)\) met behulp van logaritmische differentiatie.

Opgeloste problemen

klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.

oplossing.

eerst nemen we logaritmen van de linker – en rechterkant van de vergelijking:

nu onderscheiden we beide zijden wat betekent dat \(y\) een functie is van \(x:\)

oplossing.

eerst nemen we logaritmen van beide zijden:

onderscheid de laatste vergelijking ten opzichte van \(x:\)

Vervang de originele functie in plaats van \(y\) aan de rechterkant:

oplossing.

logaritmische differentiatie toepassen:

oplossing.

neem de logaritme van de gegeven functie:

door de laatste vergelijking te differentiëren ten opzichte van \(x,\) krijgen we:

Vervang de originele functie in plaats van \(y\) aan de rechterkant:

waar \(x \ gt 0.\)

oplossing.

het nemen van logaritmen van beide zijden, krijgen we

onderscheid deze vergelijking ten opzichte van \(x:\)

waar \(y = {x^{\arctan x}}.\)

oplossing.

logaritmen van beide zijden nemen, kunnen we de volgende vergelijking schrijven:

verder onderscheiden we de linker-en rechterkant:

oplossing.

eerst nemen we logaritmen van beide zijden:

Nu is het gemakkelijk te vinden van de logaritmische afgeleide:

in dit voorbeeld wordt aangenomen dat \(x \gt 3.\)

oplossing.

we zullen hier aannemen dat \(x \gt 2.\ ) Neem logaritmen van beide zijden:

nu kunnen we deze uitdrukking onderscheiden met betrekking tot \(x:\)