最初に対数を取ってから微分することによって関数を微分する方法は対数微分と呼ばれます。 対数微分は、関数自体を微分するよりも関数の対数を微分する方が簡単な状況で使用します。 このアプローチは、効率的な方法で力、有理関数およびいくつかの非合理的な関数の導関数を計算することを可能にする。
この方法をより詳細に検討してください。 \(Y=f\left(x\right)\)とします。 両側の自然対数を取る:
次に、連鎖規則を使用してこの式を区別し、\(y\)は\(x\)の関数であることを念頭に置いています.\)
これは、導関数があることを見ています
対数関数の導関数は、初期関数\(y=f\left(x\right)の対数導関数と呼ばれます。\)
この微分法は、べき乗指数関数の導関数、つまり次の形式の関数を効果的に計算することを可能にします
ここで、\(u\left(x\right)\)と\(v\left(x\right)\)は\(x.\)の微分可能な関数です。
以下の例では、対数微分を使って関数\(y\left(x\right)\)の導関数を求めます。
解決済みの問題
問題をクリックまたはタップして解決策を確認します。
例1
\
例2
\
例3
\
例4
\
例5
\
例6
\
例7
\
例8
\
例1.
\
解決策。
まず、方程式の左辺と右辺の対数を取ります:
ここで、\(y\)が\(x\)の関数であることを意味する両側を区別します:\)
例2.
\
解決策。
まず、両側の対数を取る:
最後の方程式を\(x)に関して微分する:\)
右辺に\(y\)の代わりに元の関数を代入します:
例3.
\
解決策。
対数微分を適用する:
例4.
\
解決策。
与えられた関数の対数を取る:
最後の方程式を\(x,\)に関して微分すると、次のようになります:
右辺に\(y\)の代わりに元の関数を代入します:
ここで、\(x\gt0.\)
例5.
\
解決策。
両辺の対数を取ると、次のようになります
この方程式を\(x)に関して微分する:\)
ここで、\(y={x^{\arctan x}}.\)
例6.
\
解決策。
両側の対数を取ると、次の式を書くことができます:
さらに、左側と右側を区別します:
例7.
\
解決策。
まず、両側の対数を取る:
今では対数導関数を見つけるのは簡単です:
この例では、\(x\gt3.\)
例8.
\
解決策。
ここでは\(x\gt2.\)両側の対数を取る:
ここで、この式を\(x:\)
に関して区別することができます
