Die Methode der Differenzierung von Funktionen, indem zuerst Logarithmen genommen und dann differenziert wird, wird logarithmische Differenzierung genannt. Wir verwenden die logarithmische Differenzierung in Situationen, in denen es einfacher ist, den Logarithmus einer Funktion zu unterscheiden als die Funktion selbst. Dieser Ansatz ermöglicht es, Ableitungen von Potenz-, rationalen und einigen irrationalen Funktionen auf effiziente Weise zu berechnen.
Betrachten Sie diese Methode genauer. Sei \(y = f \ links ( x \ rechts)\). Nehmen Sie natürliche Logarithmen beider Seiten:
Als nächstes differenzieren wir diesen Ausdruck anhand der Kettenregel und bedenken, dass \(y\) eine Funktion von \(x.\)
Es ist zu sehen, dass das Derivat ist
Die Ableitung der logarithmischen Funktion wird als logarithmische Ableitung der Anfangsfunktion \(y = f\left( x \right) bezeichnet.\)
Mit dieser Differenzierungsmethode können Ableitungen von Potenzexponentialfunktionen, dh Funktionen der Form, effektiv berechnet werden
wobei \(u\left( x \right)\) und \(v\left( x \right)\) differenzierbare Funktionen von \(x.\)
In den folgenden Beispielen finden Sie die Ableitung der Funktion \(y\left( x \right)\) mit logarithmischer Differenzierung.
Gelöste Probleme
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Beispiel 1
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Beispiel 2
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Beispiel 3
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Beispiel 4
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Beispiel 5
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Beispiel 6
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Beispiel 7
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Beispiel 8
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Beispiel 1.
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Lösung.
Zuerst nehmen wir Logarithmen der linken und rechten Seite der Gleichung:
Nun unterscheiden wir beide Seiten, was bedeutet, dass \(y\) eine Funktion von \(x:\)
Beispiel 2.
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Lösung.
Zuerst nehmen wir Logarithmen beider Seiten:
Differenzieren Sie die letzte Gleichung in Bezug auf \(x:\)
Ersetzen Sie die ursprüngliche Funktion anstelle von \(y\) auf der rechten Seite:
Beispiel 3.
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Lösung.
Logarithmische Differenzierung anwenden:
Beispiel 4.
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Lösung.
Nimm den Logarithmus der gegebenen Funktion:
Wenn wir die letzte Gleichung in Bezug auf \(x,\) differenzieren, erhalten wir:
Ersetzen Sie die ursprüngliche Funktion anstelle von \(y\) auf der rechten Seite:
wobei \(x \gt 0.\)
Beispiel 5.
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Lösung.
Wenn wir Logarithmen beider Seiten nehmen, erhalten wir
Differenzieren Sie diese Gleichung in Bezug auf \(x:\)
wo \(y = {x ^ {\arctan x}}.\)
Beispiel 6.
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Lösung.
Wenn wir Logarithmen beider Seiten nehmen, können wir die folgende Gleichung schreiben:
Weiter unterscheiden wir die linke und rechte Seite:
Beispiel 7.
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Lösung.
Zuerst nehmen wir Logarithmen beider Seiten:
Jetzt ist es einfach, die logarithmische Ableitung zu finden:
In diesem Beispiel wird angenommen, dass \(x \gt 3.\)
Beispiel 8.
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Lösung.
Wir gehen hier davon aus, dass \(x \gt 2.\) Nehmen Sie Logarithmen beider Seiten:
Jetzt können wir diesen Ausdruck in Bezug auf \(x:\)
