metoda diferențierii funcțiilor prin luarea mai întâi a logaritmilor și apoi diferențierea se numește diferențiere logaritmică. Folosim diferențierea logaritmică în situații în care este mai ușor să diferențiem logaritmul unei funcții decât să diferențiem funcția în sine. Această abordare permite calcularea eficientă a derivatelor puterii, raționale și a unor funcții iraționale.
luați în considerare această metodă mai detaliat. Fie \(y = f \ stânga (x \ dreapta)\). Luați logaritmi naturali ai ambelor părți:
apoi, diferențiem această expresie folosind regula lanțului și ținând cont de faptul că \(y\) este o funcție a \(x.\)
se vede că derivatul este
derivata funcției logaritmice se numește derivata logaritmică a funcției inițiale \(y = f \ stânga (x \dreapta).\)
această metodă de diferențiere permite calcularea eficientă a derivatelor funcțiilor exponențiale de putere, adică funcțiile formei
unde \(u\stânga(x \dreapta)\) și \(v\stânga(x \dreapta)\) sunt funcții diferențiabile ale \(x.\)
în exemplele de mai jos, găsiți derivata funcției \(y\stânga (x \dreapta)\) folosind diferențierea logaritmică.
probleme rezolvate
Faceți clic sau atingeți o problemă pentru a vedea soluția.
Exemplu 1
\
Exemplu 2
\
Exemplu 3
\
Exemplu 4
\
Exemplu 5
\
Exemplu 6
\
Exemplu 7
\
Exemplu 8
\
Exemplu 1.
\
soluție.
mai întâi luăm logaritmii din partea stângă și dreaptă a ecuației:
acum diferențiem ambele părți ceea ce înseamnă că \(y\) este o funcție a \(x:\)
exemplu 2.
\
soluție.
mai întâi luăm logaritmii ambelor părți:
diferențiați ultima ecuație cu privire la \(x:\)
înlocuiți funcția originală în loc de \(y\) în partea dreaptă:
Exemplul 3.
\
soluție.
aplicați diferențierea logaritmică:
exemplu 4.
\
soluție.
ia logaritmul funcției date:
diferențiind ultima ecuație cu privire la \(x,\) obținem:
înlocuiți funcția originală în loc de \(y\) în partea dreaptă:
unde \(x \ gt 0.\)
exemplu 5.
\
soluție.
luând logaritmii ambelor părți, obținem
diferențiați această ecuație cu privire la \(x:\)
unde \(y = {X^{\arctan x}}.\)
exemplu 6.
\
soluție.
luând logaritmii ambelor părți, putem scrie următoarea ecuație:
mai mult, diferențiem partea stângă și cea dreaptă:
exemplu 7.
\
soluție.
mai întâi luăm logaritmii ambelor părți:
acum este ușor de a găsi derivata logaritmică:
în acest exemplu se presupune că \(x \gt 3.\)
exemplul 8.
\
soluție.
vom presupune aici că \(x \ gt 2.\ ) Ia logaritmi de ambele părți:
acum putem diferenția această expresie cu privire la \(x:\)
