metoda różnicowania funkcji przez pierwsze pobranie logarytmów, a następnie różnicowanie nazywa się różnicowaniem logarytmicznym. Używamy różnicowania logarytmicznego w sytuacjach, w których łatwiej jest odróżnić logarytm funkcji niż samą funkcję. Takie podejście pozwala na efektywne obliczanie pochodnych funkcji potęgowych, racjonalnych i pewnych funkcji irracjonalnych.
rozważ tę metodę bardziej szczegółowo. Let \(y = f\left( x \right)\). Weźmy logarytmy naturalne obu stron:
następnie rozróżniamy to wyrażenie za pomocą reguły łańcucha i pamiętając, że \(y\) jest funkcją \ (x.\)
widać, że pochodna jest
pochodną funkcji logarytmicznej nazywa się pochodną logarytmiczną funkcji początkowej \(y = f\left (x \right).
ta metoda różnicowania pozwala efektywnie obliczyć pochodne funkcji Potęgowo-wykładniczych, czyli funkcji o postaci
gdzie \(u\left(x \right)\) i \(v\left(X \right)\) są funkcjami różniczkowymi \(x.\)
w poniższych przykładach znajdź pochodną funkcji \(y\left (x \right)\) używając różnicowania logarytmicznego.
rozwiązane problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.
Przykład 1
\
Przykład 2
\
Przykład 3
\
Przykład 4
\
Przykład 5
\
Przykład 6
\
Przykład 7
\
Przykład 8
\
Przykład 1.
\
rozwiązanie.
najpierw bierzemy logarytmy lewej i prawej strony równania:
teraz rozróżniamy obie strony, co oznacza, że \(y\) jest funkcją \(x:\)
przykład 2.
\
rozwiązanie.
najpierw bierzemy logarytmy obu stron:
rozróżniamy Ostatnie równanie względem \(x:\)
Zastąp oryginalną funkcję zamiast \(y\) po prawej stronie:
przykład 3.
\
rozwiązanie.
Zastosuj różnicowanie logarytmiczne:
przykład 4.
\
rozwiązanie.
weź logarytm danej funkcji:
Różniczkując Ostatnie równanie względem \(x,\) otrzymujemy:
Zastąp oryginalną funkcję zamiast \(y\) po prawej stronie:
gdzie \(x \ gt 0.\)
przykład 5.
\
rozwiązanie.
biorąc logarytmy obu stron, otrzymujemy
rozróżniamy to równanie względem \(x:\)
gdzie \(y = {x^{\arctan x}}.\)
przykład 6.
\
rozwiązanie.
biorąc logarytmy obu stron, możemy napisać następujące równanie:
dalej rozróżniamy lewą i prawą stronę:
przykład 7.
\
rozwiązanie.
najpierw bierzemy logarytmy obu stron:
teraz łatwo jest znaleźć pochodną logarytmiczną:
w tym przykładzie zakłada się, że \(x \ gt 3.\)
przykład 8.
\
rozwiązanie.
Zakładamy, że \(x \ gt 2.\) Weźmy logarytmy obu stron:
teraz możemy rozróżnić to wyrażenie względem \(x:\)
