metoden for å differensiere funksjoner ved først å ta logaritmer og deretter differensiere kalles logaritmisk differensiering. Vi bruker logaritmisk differensiering i situasjoner der det er lettere å differensiere logaritmen til en funksjon enn å differensiere funksjonen selv. Denne tilnærmingen gjør det mulig å beregne derivater av kraft, rasjonelle og noen irrasjonelle funksjoner på en effektiv måte.
Vurder denne metoden mer detaljert. La \(y = f \ venstre (x \ høyre)\). Ta naturlige logaritmer på begge sider:
deretter skiller vi dette uttrykket ved hjelp av kjederegelen og husker at \(y\) er en funksjon av \ (x.\)
det er sett at derivatet er
den deriverte av logaritmefunksjonen kalles det logaritmiske derivatet av den opprinnelige funksjonen \(y = f \ venstre (x \ høyre).\)
denne differensieringsmetoden gjør det mulig å effektivt beregne derivater av kraft-eksponentielle funksjoner, det vil si funksjoner i skjemaet
hvor \(u\venstre(x \høyre)\) og \(v\venstre(x \høyre)\) er differensierbare funksjoner av \(x\)
i eksemplene nedenfor finner du derivatet av funksjonen \(y\venstre (x \høyre)\) ved hjelp av logaritmisk differensiering.
Løste Problemer
Klikk eller trykk på et problem for å se løsningen.
Eksempel 1
\
Eksempel 2
\
Eksempel 3
\
Eksempel 4
\
Eksempel 5
\
Eksempel 6
\
Eksempel 7
\
Eksempel 8
\
Eksempel 1.
\
Løsning.
først tar vi logaritmer på venstre og høyre side av ligningen:
nå skiller vi begge sider som betyr at \(y\) er en funksjon av \ (x:\)
Eksempel 2.
\
Løsning.
først tar vi logaritmer på begge sider:
Differensiere den siste ligningen med hensyn til \(x:\)
Erstatt den opprinnelige funksjonen i stedet for \(y\) i høyre side:
Eksempel 3.
\
Løsning.
Bruk logaritmisk differensiering:
Eksempel 4.
\
Løsning.
Ta logaritmen til den gitte funksjonen:
Differensiering av den siste ligningen med hensyn til \(x,\) får vi:
Erstatt den opprinnelige funksjonen i stedet for \(y\) i høyre side:
hvor \(x \ gt 0.\)
Eksempel 5.
\
Løsning.
Tar logaritmer på begge sider, får vi
Differensiere denne ligningen med hensyn til \(x:\)
hvor \(y = {x^{\arctan x}}.\)
Eksempel 6.
\
Løsning.
Når vi Tar logaritmer fra begge sider, kan vi skrive følgende ligning:
videre skiller vi mellom venstre og høyre side:
Eksempel 7.
\
Løsning.
først tar vi logaritmer på begge sider:
Nå er det lett å finne det logaritmiske derivatet:
i dette eksemplet antas det at \(x \ gt 3.\)
Eksempel 8.
\
Løsning.
vi vil anta her at \(x \gt 2.\ ) Ta logaritmer på begge sider:
nå kan vi skille dette uttrykket med hensyn til \(x:\)
