Il metodo per differenziare le funzioni prendendo prima i logaritmi e quindi differenziando è chiamato differenziazione logaritmica. Usiamo la differenziazione logaritmica in situazioni in cui è più facile differenziare il logaritmo di una funzione piuttosto che differenziare la funzione stessa. Questo approccio consente di calcolare le derivate di potenza, le funzioni razionali e alcune irrazionali in modo efficiente.
Considera questo metodo in modo più dettagliato. Let \(y = f \ left (x \right)\). Prendi logaritmi naturali di entrambi i lati:
a quel punto, abbiamo differenziare questa espressione con la catena regola e tenendo a mente che \(y\) è una funzione di \(x.\)
È visto che la derivata è
La derivata della funzione logaritmica è chiamato logaritmica derivati iniziale, la funzione \(y = f\left( x \right).\)
Questo metodo di differenziazione permette di efficacemente calcolare derivate di potenza-funzioni esponenziali, che le funzioni del modulo
dove \(u\left( x \right)\) e \(v\left( x \right)\) sono differenziabili funzioni di \(x.\)
Negli esempi riportati di seguito, trovare la derivata della funzione \(y\left( x \right)\) utilizzando logaritmica differenziazione.
Problemi risolti
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Esempio 1
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Esempio 2
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Esempio 3
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Esempio 4
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Esempio 5
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Esempio 6
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Esempio 7
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Esempio 8
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Esempio 1.
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Soluzione.
Per prima cosa prendiamo i logaritmi del lato sinistro e destro dell’equazione:
Ora differenziiamo entrambi i lati, il che significa che \(y\) è una funzione di \ (x:\)
Esempio 2.
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Soluzione.
per Prima cosa prendiamo i logaritmi di entrambi i lati:
Differenziare l’ultima equazione rispetto a \(x:\)
Sostituire l’originale invece la funzione di \(y\) nel lato destro:
Esempio 3.
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Soluzione.
Applicare la differenziazione logaritmica:
Esempio 4.
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Soluzione.
Prendere il logaritmo della funzione data:
Differenziare l’ultima equazione rispetto a \(x\) si ottiene:
Sostituire l’originale invece la funzione di \(y\) nel lato destro:
dove \(x \gt 0.\)
Esempio 5.
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Soluzione.
Prendendo logaritmi di entrambi i lati, otteniamo
Differenziare questa equazione rispetto a \ (x:\)
dove \(y = {x ^ {\arctan x}}.\)
Esempio 6.
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Soluzione.
Prendendo logaritmi di entrambi i lati, possiamo scrivere la seguente equazione:
Inoltre differenziiamo i lati sinistro e destro:
Esempio 7.
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Soluzione.
per Prima cosa prendiamo i logaritmi di entrambi i lati:
Ora è facile trovare la derivata logaritmica:
In questo esempio si presume che \(x \ gt 3.\)
Esempio 8.
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Soluzione.
Assumeremo qui che \(x \ gt 2.\) Prendere i logaritmi di entrambi i lati:
Ora possiamo differenziare questa espressione rispetto a \(x:\)
