a függvények megkülönböztetésének módszerét először logaritmusok felvételével, majd differenciálással logaritmikus differenciálásnak nevezzük. Logaritmikus differenciálást használunk olyan helyzetekben, amikor könnyebb megkülönböztetni egy függvény logaritmusát, mint magát a függvényt. Ez a megközelítés lehetővé teszi a teljesítmény, a racionális és néhány irracionális függvény deriváltjainak hatékony kiszámítását.
Tekintsük ezt a módszert részletesebben. Legyen \(y = f \ balra (x \ jobbra)\). Vegyük mindkét oldal természetes logaritmusát:
ezután megkülönböztetjük ezt a kifejezést a láncszabály használatával, szem előtt tartva, hogy \(y\) függvénye \(x.\)
látható, hogy a derivált az
a logaritmikus függvény deriváltját a kezdeti függvény logaritmikus deriváltjának nevezzük \(y = f \ bal (x \ jobb).\)
ez a differenciálási módszer lehetővé teszi a teljesítmény-exponenciális függvények származékainak hatékony kiszámítását, azaz a forma függvényeit
ahol \(u\left( x \right)\) és \(v\left( x \right)\) differenciálható függvények \(x.\)
az alábbi példákban keresse meg a függvény deriváltját \(y\left( x \right)\) logaritmikus differenciálással.
megoldott problémák
kattintson vagy koppintson egy problémára a megoldás megtekintéséhez.
Példa 1
\
Példa 2
\
Példa 3
\
Példa 4
\
Példa 5
\
Példa 6
\
Példa 7
\
Példa 8
\
Példa 1.
\
megoldás.
először az egyenlet bal és jobb oldalának logaritmusát vesszük:
most megkülönböztetjük mindkét oldalt, ami azt jelenti, hogy \(y\) függvénye \(x:\)
példa 2.
\
megoldás.
először mindkét oldal logaritmusát vesszük:
differenciálja az utolsó egyenletet \(x:\)
cserélje ki az eredeti függvényt a \(y\) helyett a jobb oldalon:
példa 3.
\
megoldás.
logaritmikus differenciálás alkalmazása:
példa 4.
\
megoldás.
Vegyük az adott függvény logaritmusát:
az utolsó egyenlet megkülönböztetése \(x,\) vonatkozásában megkapjuk:
cserélje ki az eredeti függvényt a \(y\) helyett a jobb oldalon:
ahol \(x \ gt 0.\)
példa 5.
\
megoldás.
mindkét oldal logaritmusát figyelembe véve megkapjuk
differenciálja ezt az egyenletet \(x:\)
ahol \(y = {x^{\arctan x}}.\)
példa 6.
\
megoldás.
mindkét oldal logaritmusait figyelembe véve a következő egyenletet írhatjuk:
továbbá megkülönböztetjük a bal és a jobb oldalt:
példa 7.
\
megoldás.
először mindkét oldal logaritmusát vesszük:
most már könnyű megtalálni a logaritmikus deriváltat:
ebben a példában azt feltételezzük, hogy \(x \gt 3.\)
példa 8.
\
megoldás.
itt feltételezzük, hogy \(x \ gt 2.\ ) Vegyük mindkét oldal logaritmusát:
most meg tudjuk különböztetni ezt a kifejezést \(x:\)
