menetelmää, jossa funktiot differentioidaan ottamalla ensin logaritmit ja sitten differentiaatio, kutsutaan logaritmiseksi differentiaatioksi. Käytämme logaritmista eriyttämistä tilanteissa, joissa funktion logaritmi on helpompi erottaa kuin itse funktio. Näin voidaan laskea potenssien, rationaalisten ja joidenkin irrationaalisten funktioiden derivaatat tehokkaasti.
harkitse tätä menetelmää tarkemmin. Olkoon \(y = f\left (x \right)\). Ota luonnollisia logaritmeja molemmilta puolilta:
seuraavaksi erotamme tämän lausekkeen ketjusäännön avulla ja pidämme mielessä, että \(y\) on funktio \(x.\)
on nähty, että derivaatta on
logaritmisen funktion derivaataksi kutsutaan alkufunktion \(y = f\left( x \right) logaritminen derivaatta.\)
tämän differentiaalimenetelmän avulla voidaan tehokkaasti laskea potenssi-eksponenttifunktioiden derivaatat, eli funktiot ovat muotoa
missä \(u\left(x \right)\) ja \(v\left(x \right)\) ovat \(x.\)
differentioituvia funktioita alla olevissa esimerkeissä, etsi funktion \(y\left (x \right)\) derivaatta logaritmisen differentiaation avulla.
ratkaistut ongelmat
klikkaa tai napauta ongelmaa nähdäksesi ratkaisun.
Esimerkki 1
\
Esimerkki 2
\
Esimerkki 3
\
Esimerkki 4
\
Esimerkki 5
\
Esimerkki 6
\
Esimerkki 7
\
Esimerkki 8
\
Esimerkki 1.
\
ratkaisu.
ensin otetaan yhtälön vasemman ja oikean puolen logaritmit:
nyt erotamme molemmat puolet eli \(y\) on funktio \(x:\)
Esimerkki 2.
\
ratkaisu.
ensin otetaan logaritmit molemmilta puolilta:
erottele viimeinen yhtälö suhteessa \(x:\)
korvaa alkuperäinen funktio \(y\) sijasta oikealla puolella:
esimerkki 3.
\
ratkaisu.
sovelletaan logaritmista differentiaatiota:
esimerkki 4.
\
ratkaisu.
ota annetun funktion logaritmi:
Differentiating viimeinen yhtälö suhteessa \(x,\) saamme:
korvaa alkuperäinen funktio \(y\) sijasta oikealla puolella:
missä \(x \gt 0.\)
esimerkki 5.
\
ratkaisu.
ottaen logaritmit molemmilta puolilta, saamme
Differential this equation with respect to \(x:\)
missä \(y = {x^{\arctan x}}.\)
esimerkki 6.
\
ratkaisu.
ottaen logaritmit molemmilta puolilta, voimme kirjoittaa seuraavan yhtälön:
lisäksi erotamme vasemman ja oikean puolen:
esimerkki 7.
\
ratkaisu.
ensin otetaan logaritmit molemmilta puolilta:
nyt on helppo löytää logaritminen derivaatta:
tässä esimerkissä oletetaan, että \(x \gt 3.\)
esimerkki 8.
\
ratkaisu.
oletamme tässä, että \(x \gt 2.\ ) Ota logaritmit molemmilta puolilta:
nyt voimme erottaa tämän lausekkeen suhteen \(x:\)
