metoda diferenciace funkcí nejprve přijetím logaritmů a poté diferencováním se nazývá logaritmická diferenciace. Logaritmickou diferenciaci používáme v situacích, kdy je snazší rozlišit logaritmus funkce než odlišit funkci samotnou. Tento přístup umožňuje efektivní výpočet derivátů moci, racionálních a některých iracionálních funkcí.
zvažte tuto metodu podrobněji. Nechť \(y = f\left (x \right)\). Vezměte přirozené logaritmy obou stran:
dále rozlišujeme tento výraz pomocí pravidla řetězce a mějte na paměti, že \(y\) je funkce \(x.\)
je vidět, že derivace je
derivace logaritmické funkce se nazývá logaritmická derivace počáteční funkce \(y = f\left( x \right).\)
tato diferenciační metoda umožňuje efektivně vypočítat derivace mocno-exponenciálních funkcí, tj. funkcí tvaru
kde \(u\left (x \right)\) a \(v \ left (x \right)\) jsou diferencovatelné funkce \(x.\)
v níže uvedených příkladech najděte derivaci funkce \(y\left( x \right)\) pomocí logaritmické diferenciace.
Vyřešené problémy
kliknutím nebo klepnutím na problém zobrazíte řešení.
Příklad 1
\
Příklad 2
\
Příklad 3
\
Příklad 4
\
Příklad 5
\
Příklad 6
\
Příklad 7
\
Příklad 8
\
Příklad 1.
\
řešení.
nejprve vezmeme logaritmy levé a pravé strany rovnice:
nyní rozlišujeme obě strany, což znamená, že \(y\) je funkce \(x:\)
příklad 2.
\
řešení.
nejprve vezmeme logaritmy obou stran:
Diferencujte Poslední rovnici vzhledem k \(x:\)
nahradit původní funkci namísto \(y\) na pravé straně:
příklad 3.
\
řešení.
použijte logaritmickou diferenciaci:
příklad 4.
\
řešení.
vezměte logaritmus dané funkce:
diferenciací poslední rovnice vzhledem k \(x,\) získáme:
nahradit původní funkci namísto \(y\) na pravé straně:
kde \(x \ gt 0.\)
příklad 5.
\
řešení.
Vezmeme-li logaritmy obou stran, dostaneme
Diferencujte tuto rovnici vzhledem k \(x:\)
kde \(y = {x^{\arctan x}}.\)
příklad 6.
\
řešení.
Vezmeme-li logaritmy obou stran, můžeme napsat následující rovnici:
dále rozlišujeme levou a pravou stranu:
příklad 7.
\
řešení.
nejprve vezmeme logaritmy obou stran:
nyní je snadné najít logaritmickou derivaci:
v tomto příkladu se předpokládá, že \(x \ gt 3.\)
příklad 8.
\
řešení.
zde budeme předpokládat, že \(x \gt 2.\ ) Vezměte logaritmy obou stran:
Nyní můžeme tento výraz odlišit vzhledem k \(x:\)
